예제 2.1 (2)

[eqn: y prime +e ^{y} cosx=`0]

위 식을 보면 독립변수가 하나인 상미분방정식이고 (이는 곧 입력변수 하나, 출력변수 하나라는 말)

변수분리가 가능한 (separable) 형태 이므로,

변수분리형 미분방정식 (Separable D.E.)을 푸는 방식으로 풀면 된다.

아. 참고로 변수분리가 가능하다는 말은

양변에 각각 한 종류의 변수로만 구성되게끔 식을 조작할 수 있다는 말이다.

[eqn: y prime +e ^{y} cosx=`0]

위 식의 [eqn: e ^{y} cosx] 을 우변으로 옮기면

[eqn: y prime =-e ^{y} cosx]  이고

[eqn: -e ^{y}] 을 좌변으로 옮겨주면

[eqn: -e ^{-y} `y prime =cosx] 가 된다.

여기까지가 변수분리를 한 것이다... separable하다는 것의 의미가 바로

지금까지의 과정이 가능하다는 말이다...

[eqn: -e ^{-y} `y prime =cosx]

양변을 x적분 해주면...

[eqn: int _{} ^{} {-e ^{-y} `} `y prime `dx= int _{} ^{} {cosx```dx}] 가 되는데...

이때 전미분을 생각해보면 [eqn: dy`=`y prime dx`]이므로

[eqn: int _{} ^{} {-e ^{-y} `} ``dy```= int _{} ^{} {cosx```dx}] 라고 생각하고 계산할 수 있다

이제 간단한 적분이니 계산해주면...

[eqn: e ^{-y} `+c _{1} ```=`sinx`+c _{2}] 가 되며

이때 [eqn: c _{1}] 과 [eqn: c _{2}]는 어차피 상수이므로 하나의 상수 [eqn: c] 로 식을 정리하면...

[eqn: e ^{-y} ``=``sinx`+c`]   이고  식을 [eqn: y] = ~~~ 의 형태로 정리해주자... 그러면 아래와 같은 과정을 거치는데...

[eqn: {1} over {e ^{y}} `=``sinx`+c`]

[eqn: e ^{y} `=` {1} over {sinx`+c`} `]   (이때 위아래를 뒤집은 것은 어차피 “비율”이므로 등식이 성립한다.)

양변에 자연로그를 취해주면...

[eqn: y`=ln(``` {1} over {sinx`+c`} ``)`]  이것이 위 미분방정식의 해 이다.

예제 2.1 (4)

[eqn: y ^{3} {dy} over {dx} +x ^{3} =0]

위 식을 보면 독립변수가 하나인 상미분방정식이고 (이는 곧 입력변수 하나, 출력변수 하나라는 말)

변수분리가 가능한 (separable) 형태 이므로,

변수분리형 미분방정식 (Separable D.E.)을 푸는 방식으로 풀면 된다.

[eqn: y ^{3} {dy} over {dx} +x ^{3} =0]

[eqn: y ^{3} {dy} over {dx} `=`-x ^{3}]

양변을 x적분 해주면...

[eqn: int _{} ^{} {y ^{3}} {dy} over {dx} dx`= int _{} ^{} {-x ^{3} dx} `] 가 되는데..

이때 전미분을 생각해보면 [eqn: dy`=`y prime dx`] 이고 이는 곧 [eqn: dy`=` {dy} over {dx} dx`] 이므로

[eqn: int _{} ^{} {y ^{3}} `dx`= int _{} ^{} {-x ^{3} dx} `] 라고 생각하고 계산할 수 있다. 이제 이 식은 단순한 다항함수 적분이니 계산하면...

[eqn: {1} over {4} y ^{4} +c _{1} ``=` {1} over {4} x ^{4} `+`c _{2} ``] 가 되는데...

이때 [eqn: c _{1}] 과 [eqn: c _{2}]는 어차피 상수이므로 하나의 상수 [eqn: c] 로 식을 정리하면...

[eqn: {1} over {4} y ^{4} `- {1} over {4} x ^{4} `+`c`=`0``] 으로

implicit representation(음함수 표현)인 미분방정식의 해가 나온다.

이를 implicit solution (음함수 해) 음함수형태로 표현된 해 라고 부른다.

( 참고로 위의 해를  [eqn: y`=`]~~~ 형태로 정리한다면 (이때 ~~~에는 y 관련 표현이 있으면 안된다.)

explicit representation(양함수 표현)이라 하며

이러한 [eqn: y`=`]~~~ 를 explicit solution (양함수 해) 라고 한다. )

explicit representation 형태로 미분방정식의 해가 나오면 참 좋겠지만

간혹, implicit representation 형태로 미분방정식의 해가 나온다면

문제에서 양함수 해로 적으라고 하지 않는 이상

그대로 음함수 해로 적으면 된다.

예제 2.1 (6)

[eqn: {dy} over {dx} -(1+y ^{2} )cosx`=`0]

위 식을 보면 독립변수가 하나인 상미분방정식이고 (이는 곧 입력변수 하나, 출력변수 하나라는 말)

변수분리가 가능한 (separable) 형태 이므로,

변수분리형 미분방정식 (Separable D.E.)을 푸는 방식으로 풀면 된다.

[eqn: {dy} over {dx} -(1+y ^{2} )cosx`=`0]

[eqn: (1+y ^{2} )cosx`] 을 좌변에서 우변으로 옮겨주자 (separable 하다는 것이 눈으로도 보이므로)

[eqn: {dy} over {dx} `=`(1+y ^{2} )cosx`]

[eqn: `(1+y ^{2} )`] 을 우변에서 좌변으로 이항해주면...

[eqn: {1} over {(1+y ^{2} )} {dy} over {dx} `=`cosx`]  가 된다...

이제 양변을 x적분 해주면...

[eqn: int _{} ^{} {{1} over {(1+y ^{2} )}} {dy} over {dx} dx`= int _{} ^{} {cosx} ``dx`]

이때 전미분을 생각해보면 [eqn: dy`=`y prime dx`] 이고 이는 곧 [eqn: dy`=` {dy} over {dx} dx`] 이므로

[eqn: int _{} ^{} {{1} over {(1+y ^{2} )}} dx`= int _{} ^{} {cosx} ``dx`] 라고 생각하고 계산할 수 있다.

양변의 적분을 이행해주면...

[eqn: tan ^{-1} y+c _{1} `=sinx+`c _{2}]  가 된다..

이때 [eqn: c _{1}] 과 [eqn: c _{2}]는 어차피 상수이므로 하나의 상수 [eqn: c] 로 식을 정리하면...

[eqn: tan ^{-1} y``=sinx+`c]  이 된다....

양변에 [eqn: tan] 함수를 취해주면...

[eqn: tan(tan ^{-1} y`)`=tan(sinx+`c)]

[eqn: y``=tan`(sinx+`c)] ... 이것이 위 미분방정식의 해이다.

과정을 보면 알겠지만 결국 미분방정식의 해를 구하는 것에는 곧 적분이 필요하다.

예제 2.1 (8)

[eqn: y(1+x ^{2} ) {dy} over {dx} =x ^{2}]

위 식을 보면 독립변수가 하나인 상미분방정식이고 (이는 곧 입력변수 하나, 출력변수 하나라는 말)

변수분리가 가능한 (separable) 형태 이므로,

변수분리형 미분방정식 (Separable D.E.)을 푸는 방식으로 풀면 된다.

[eqn: (1+`x ^{2} )]을 좌변에서 우변으로 옮기면...

[eqn: y {dy} over {dx} `=` {x ^{2}} over {(1+x ^{2} )}]   이 된다.

이제 양변을 [eqn: x]적분 해주면...

[eqn: int _{} ^{} {y} ` {dy} over {dx} dx`=` int _{} ^{} {{x ^{2}} over {1+x ^{2}}} dx]

이때 전미분을 생각해보면 [eqn: dy`=`y prime dx`] 이고 이는 곧 [eqn: dy`=` {dy} over {dx} dx`] 이므로

[eqn: int _{} ^{} {y} ``dy`=` int _{} ^{} {{x ^{2}} over {1+x ^{2}}} dx]  라고 생각하고 계산할 수 있다.

좌변을 적분하면...

[eqn: {1} over {2} y`+`c _{1} `=` int _{} ^{} {{x ^{2}} over {1+x ^{2}}} dx]

우변을 적분할려고 보니... 일반적으로 우리가 적분할 수 있는 형태가 아니므로

식을 적절히 조작해주면...

[eqn: {1} over {2} y`+`c _{1} `=` int _{} ^{} {{x ^{2} +1-1} over {x ^{2} +1}} `dx]   (보이지 않는 것을 떠올릴 수 있는 것이 중요하다. [eqn: +1-1] 을 떠올리는 발상)

[eqn: {1} over {2} y`+`c _{1} `=` int _{} ^{} {1`-` {1} over {x ^{2} +1}} `dx]  가 된다...

적분연산은 선형성이 성립하므로....

[eqn: {1} over {2} y`+`c _{1} `=` int _{} ^{} {1``dx``+` int _{} ^{} {-` {1} over {x ^{2} +1}}} `dx]  이렇게 분리하여 적분할 수 있다.

(참고로.. [eqn: int _{} ^{} {1} `dx] 부분은    원래는 [eqn: int _{} ^{} {dx}] 라고 표기하는 것이 국룰(?)이지만.. 설명을 위해 이렇게 적었다.)

우변의 적분은 이제 우리가 계산할 수 있는 형태이므로 계산하면...

[eqn: {1} over {2} y`+`c _{1} `=`x`+`- int _{} ^{} {{1} over {x ^{2} +1} dx}]

[eqn: {1} over {2} y`+`c _{1} `=`x`+`-`(`tan ^{-1} x`)+c _{2}]

이때 [eqn: c _{1}] 과 [eqn: c _{2}]는 어차피 상수이므로 하나의 상수 [eqn: c] 로 식을 정리하면...

[eqn: {1} over {2} y`-x+(tan ^{-1} x)``+`c`=`0] ... 이것이 위 미분방정식의 해이다.

과정을 보면 알겠지만 결국 미분방정식의 해를 구하는 것에는 곧 적분이 필요하다.